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Cours de mathématiques en 3e France – Le théorème de Thalès

Cours de mathématiques en 3e France – Le théorème de Thalès. Le Cours de mathématiques en 3e en France vise la formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels de l’enseignement des mathématiques au collège. 

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Le théorème de Thalès

Objectifs :

Que dit le théorème de Thalès et comment l’utiliser? Quelle utilisation peut-on faire de la réciproque du théorème de Thalès ? Voilà les deux sujets abordés dans cette fiche.

1. Théorème de Thalès et application

a. Le théorème de Thalès

Soit A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés. On suppose de plus que tous ces points sont distincts deux à deux.

Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles alors on a .

Deux cas de figures sont possibles, selon que A est, ou non, entre les points B et C.

b. Application

Dans le cas où les conditions sont vérifiées, on utilise le théorème de Thalès pour calculer des longueurs.

Exemple
Sur la figure ci-dessous les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On donne AJ = 5 cm, AE = 6 cm et AD = 8 cm. Calculer AI.

Réponse
Les points A, I et D sont alignés. Les points A, J et E sont alignés. Les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès qui s’exprime ici par :

On connait AJ, AE et AD et on cherche AI. On garde donc les deux premiers rapports

En remplaçant on obtient :

D’où AI = 

 (arrondi au dixième).

2. Réciproque du théorème de Thalès

Cette propriété est utilisée pour démontrer que des droites sont parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès

Soit A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés. On suppose de plus que tous ces points sont distincts deux à deux.
Si les points A, B, C et les points A, B’, C’ sont alignés dans le même ordre et si 

 alors les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles.


Exemple

Dans la figure ci-dessous on sait que : AB = 7 cm, AC = 10 cm, AB’ = 4,2 cm et AC’ = 6 cm. Les droites (BB’) et (CC’) sont-elles parallèles ?

Réponse :
A, B, C et A, B’, C’ sont alignés dans le même ordre.

et d’autre part, 

Donc 


D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles.

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