Cours Maths Tle C-D-E-TI: Module et argument d’un nombre complexe

Définition : Soit z = a + b i ( où a et b sont deux nombres réels non nuls tous deux ) un nombre complexe non nul sous la forme algébrique , on appelle argument du nombre complexe z , le nombre réel  défini par : où | z | est le module du nombre complexe z . Remarques : – le nombre complexe 0 n’a pas d’argument.- un nombre complexe non nul admet plusieurs arguments, c’est pour cela que dans un énoncé vous trouverez la question :  » déterminer le module et un argument  » ( il y a un seul module et plusieurs arguments ) – un argument du nombre complexe z se note arg(z) – l’argument d’un réel non nul est de la forme k  où k est un entier relatif. – l’argument d’un imaginaire pur est de la forme k /2 où k est un entier relatif. Propriétés : voir ce lien Exemples de calculs : Interprétation géométrique :

Nombre complexe et géométrie

Affixe et image

Soit P le plan muni d’un repère orthonormal direct 
Le point M, de coordonnées (a ; b ) , est appelé image du nombre complexe >z = a + bi , et le vecteur  est l’image vectorielle de z. On le note parfois M(z) l’image de z. Le nombre z est appelé affixe du point M(x ; y ) et aussi l’affixe du vecteur 

Addition de deux nombres complexes

Soient z et z’ deux nombres complexes et s = z + z’ leurs sommes.
L’image vectorielle de s est la somme vectorielle des image vectorielle de z et z’.


Opposé d’un nombre complexe

Deux nombres complexes opposés z et -z ont des images symétrique par rapport à l’origine O du repère.


Multiplication d’un nombre complexe par un réel

Si z et z’ sont deux nombres complexes et k un réel non nul tels que z’ = k z sont les affixes de deux points M et M’ , le point M ‘ est l’image du point M par l’homothétie de centre O est de rapport k.

Conjugué d’un nombre complexe

Si z = a + bi ( ou a et b sont deux réels ) , le conjugué de z est le nombre complexe noté

= a – b i. Deux nombres complexes conjugués ont leurs images respectives symétrique par rapport à l’axe des réels ( axe des abscisses )

Module et argument d’un nombre complexe

( activité d’approche .doc)

Soit z un nombre complexe non nul. On appelle module et argument du module du nombre complexe >z = a + bi , les nombres réels > et > défini par :

attention le nombre complexe 0 n’a pas d’argument.
Si M est l’image de z alors le module de z est égale à la distance OM et  est une mesure de l’angle de vecteurs

Calculer le module et un argument d’un nombre complexe

Distance AB

Soient A et B deux points du plan complexes d’affixes respectifs z_A et z_B la distance AB est le module du nombre complexe z_B – z_A : AB=|z_B – z_A|

Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, isocèle ou rectangle, on peut donc calculer les longueurs côtés du triangle et utiliser les définitions ou propriétés géométriques courantes pour conclure.

Exemple : on veut calculer la distance AB sachant que A et B ont pour affixes
respectivement 1 + i et 3 +i

Affixe d’un vecteur
Soient A et B deux points du plan complexes d’affixes respectifs z_A et z_B l’affixe du vecteur est le nombre complexe z_B – z_A

Affixe du milieu d’un segment

Soient A et B deux points du plan complexes d’affixes respectifs z_A et z_B l’affixe du milieu K du segment [AB] est le nombre complexe z_K d’affixe :

Angle orienté :

Soient A et B deux points du plan complexes d’affixes respectifs z_A et z_B l’argument du nombre complexe z_B – z_A est égal à la mesure de l’angle de vecteurs 



Plus généralement si  et  sont deux vecteurs d’affixes non nuls z et z’, alors :